Mathématiques NYB : Calcul intégral

Cours 201-NYB, groupe 00001

Guillaume Grégoire Sauvé

Petits enfants, tendez l’oreille car je vais vous conter une histoire fantastique. Une histoire pleine de magie et de rires, une histoire gorgée d’émotions et ruisselante de bonheur, l’histoire du nombre e. Il vous faudra bien écouter, car le chemin de e vers l’avenir est tortueux et n’est pas sans d’embûches et quiproquos, parfois comiques, parfois tragiques. Vous vivrez avec lui une foule d’aventures incroyables. Êtes-vous prêts pour le grand plongeon dans le monde merveilleux de e ? Alors, fermez les yeux et laissez vous emporter !

Tout commence il y a de cela très très longtemps, avant même que vos grands-parents se rencontrent, en 1618 dans un magnifique royaume. Ce beau royaume, où tous vivaient dans la joie et l’harmonie, bordé par la mer et peuplé de monts fiers et de vallées verdoyantes, se nommait l’Écosse. Vivait dans ce royaume un sympathique baron nommé John Napier. John Napier avait grandi comme un garçon normal, entouré de parents aimants, jusqu’au jour où il avait été atteint d’une terrible maladie, venue d’on ne sait où : la passion des mathématiques. C’était un mal étrange qui s’était emparé de son esprit sans doute trop fragile et qui le faisait se passionner pour des chimères de chiffres qui se confondaient à l’infini sans que qui que ce soit n’y comprenne rien : les calculs de trigonométrie sphérique. Ses parents, désespérés, avaient fait tout ce qu’ils pouvaient pour guérir leur fils de ce mal qui lui rongeait le cerveau, mais en vain. Ni la médecine, ni la prière ne parvinrent à le ramener sur la voie de la raison. Persistant dans sa folie, il publia plusieurs livres que seuls d’autres tourmentés comme lui comprenait. Et c’est dans un de ces livre, paru en 1618, et qui traitait d’un quelconque fantasme de l’esprit (les logarithmes) qu’apparaît en annexe pour la première fois le nombre e. En fait, le nombre e n’était pas expressément formulé, mais il y avait un tableau où étaient inscrits les logarithmes naturels de plusieurs nombres (donc des logarithmes en base e). Cette parcelle de génie dans l’oeuvre nébuleuse de John Napier, comme une jolie fleur qui pousserait sur le gris asphalte mort, ne fut malheureusement pas remarqué par ses contemporains, car à l’époque on ne remarqua pas les fabuleuses possibilités de e. Pourquoi, me demanderez-vous, chers enfants ? Parce que les gens de ce temps ne considéraient pas le « log » comme une fonction mais comme un nombre qui facilitait le calcul, la base importait donc relativement peu. À ses débuts, le e servit donc comme esclave pour d’autres calculs et n’était pas en lui-même le centre d’intérêt. Ainsi, malgré l’utilisation de e quelques années plus tard par un certain Oughtred (un compatriote de Napier qui partageait la même folie) dans ses calculs, nul ne porta attention au nombre e en soi. Sans doute inconsciemment séduits par e, d’autres fous des chiffres l’utilisèrent dans leurs calculs. Ainsi, en 1647, Gregorius Saint-Vincent calcula l’aire sous une hyperbole rectangulaire, mais ne fit probablement pas le lien avec les logarithmes. C’est Huygens, en 1661, qui découvrit le lien : l’aire sous la courbe d’une hyperbole y =1/x est égale à 1 entre 1 et... e. Cette relation imposait e comme la base des logarithmes naturels, mais personne ne s’en aperçut, au grand désespoir du principal intéressé, e. Ces années noires furent dures pour e car il souffrait de l’incompréhension générale. Mais, même dans les moments les plus sombres, il gardait espoir qu’un jour la pleine mesure de son talent éclaterait au grand jour. Séchez donc vos pleurs et mouchez ce petit nez les enfants, car les lendemains qui chantent étaient encore à venir.

En effet, la lumière étincelante de la reconnaissance au bout du long tunnel de l’ignorance devait bientôt apparaître pour e grâce à l’obstination mathématique et donc maladive d’un nouveau personnage, Jacob Bernoulli. Ce nouvel ami dans l’histoire vivait dans un pays paisible et plutôt montagneux où malgré les efforts des autorités, la maladie des chiffres s’était répandue, la Suisse. En fait, ce chercheur était affecté d’une variante du mal mathématique : il s’intéressait à la finance et plus précisément à un sujet plus que flou que l’on nomme les intérêts composés. Dans sa logique de recherche à tendance pathologique, il se mit en tête de trouver la limite de (1+1/n)ⁿ quand n tend vers l’infini étoilé. En 1683, grâce à un artifice de l’esprit (le théorème binomial), il estima la limite entre 2 et 3. Et voilà ! Vous aviez bien sûr deviné, les enfants, qu’il s’agissait de la première estimation de e. Malheureusement, obnubilé par ses intérêts composés, le Suisse ne fit pas le lien entre son résultat et les logarithmes.

Mais la première estimation de e ne devait être que le début de la gloire pour lui (e), car bientôt il allait commencer à intéresser les mathématiciens, qui décidemment en mettaient du temps pour apprécier les choses à leur juste valeur. Notre histoire nous fait beaucoup voyager, petits enfants, et cette fois-ci, restez sur vos gardes, car nous nous dirigeons vers un pays barbare au paysage sauvage et féroce et où la langue attaque l’oreille comme si elle lui voulait du mal : l’Allemagne. Dans cette contrée farouche, vivait un homme à la perruque ridicule qui portait un nom qui faisait peur aux petits enfants : Gottfried Wilhelm von Leibniz. Étrangement, comme quoi la vie est pleine de mystères, c’est cet homme insolite qui, sans doute lassé de dévorer les petits enfants et de hurler à la lune, s’intéressa le premier expressément à e. Dans une lettre écrite en 1690 de sa sombre main et adressée à un certain Christiaan Huygens (vous souvenez-vous de lui, les amis ? Il est déjà passé dans cette histoire !), il lui parle d’un nombre qu’il considère comme intéressant, le nombre e. Évidemment, venant d’un pays de sauvage, il déforme tout et il appelle ce nombre le nombre b. Quoiqu’étant le premier à donner un nom à ce nombre, on ne peut lui en vouloir d’ignorer sa véritable identité, puisque nul ne l’avait mentionnée auparavant. Me suivez-vous ?

Toujours en est-il que pour la première fois e commence à être apprécié pour ce qu’il est, ce qui est le premier pas vers le sentiment d’acceptation sociale.

Mais quittons vite cette lugubre Allemagne pour retourner dans ce pays où les montagnes chantent leur joie de vivre en jouant du pipeau, la Suisse. Là, parmi les edelweiss en fleurs et les fabriques de chocolat qui rendent les enfants si heureux (vous aimez le chocolat les enfants ?) vivait un homme joyeux qui transpirait la gaieté et qui était pour ainsi dire parfait, si ce n’est qu’il s’intéressait lui aussi aux mathématiques (décidément, la Suisse était sérieusement infectée). Cet homme se nommait Leonhard Euler. Il est le héros de cette histoire, car c’est lui le premier qui s’intéressa de façon sérieuse à e. Pour les beaux yeux de e, il fit de grandes choses. Dans un livre écrit en 1731 et dont le titre était Introductio in Analysin infinitorum, Euler explique que

e = 1 + ¹/_1! + ¹/_2! + ¹/_3! + ...

et il donne une estimation à 18 décimales de e. C’est aussi lui qui donna à e, en même temps que ses lettres de noblesse, son nom définitif. Des mauvaises langues ont longtemps prétendu que Euler avait choisi « e » car il s’agissait de la première lettre de son nom, mais ce n’est que calomnie auxquelles nous ne prêtons qu’une oreille méprisante. D’autres ont répandu la rumeur qu’Euler avait choisi « e » pour « exponentiel », mais c’est peu probable. D’autre part, des sources sérieuses affirment que « e » était la première voyelle libre, parce qu’Euler utilisait déjà un « a » dans ses calculs, cette hypothèse est probable mais elle manque singulièrement de poésie. J’ai quant à moi l’intime conviction qu’Euler, un soir d’orage où le tonnerre grondait et où le ciel était zébré d’éclairs, a regardé e droit dans les yeux et, tout en prenant conscience de tout le malheur qui accablait cette pauvre créature éplorée, il a entendu e lui chuchoter son nom.

Par la suite, Euler vécut heureux et eut beaucoup d’enfants (dont quelques uns survécurent) et malgré la cécité totale qui l’affligea, il réussit à continuer à travailler grâce à la force que lui avait insufflée e. Il lui devait bien ça.

Depuis Euler, la popularité de e ne s’est plus démentie et ce nombre consolida son statut de superstar mathématique. Souvent par la suite, constatant la futilité de la vie humaine, de nombreux mathématiciens décidèrent de consacrer la leur à quelque chose de tout aussi futile : le calcul des décimales de e. Voici un petit tableau relatant les exploits de nombreux et obscurs personnages dans ce domaine après Euler.

Petits enfants, l’heure du dodo approche et notre histoire touche à sa fin. Elle se termine dans le berceau de nos ancêtres, en France, douce France. Dans ce pays heureux où les arcs-en-ciel sourient à l’envers dans l’azur et où les gens parlent en riant une langue que nous connaissons bien vivait drôle de bonhomme. Il s’appelait Charles Hermite et il devait bien porter son nom car il faisait des mathématiques. Malgré cela, c’était un brave garçon. Depuis Euler, on savait que e était un nombre irrationnel (l’avais-je mentionné ?). Or on se demandait si il s’agissait d’un nombre algébrique. Eh oui, vous l’avez deviné, c’est notre Hermite qui trouva la réponse en 1873 : c’est non.

Et c’est ainsi que se termine notre belle histoire, chers enfants. J’espère que vous l’avez aimé et que vos rêves soient maintenant peuplés de e. En parlant de rêves, c’est maintenant l’heure d’aller au lit. Allez, hop ! On se couche ! Fais dodo, cher enfant rêve aux anges d’or, repose joyeux en rêvant aux cieux... (air connu)

Pour les grands qui s’amusent à lire des histoires pour touts petits et qui sont encore debout, il y a en annexe un tableau avec les plus anciennes mentions de e dans des ouvrages mathématiques. Puis suit, pour votre culture, les 6 654 premières décimales de e. À lire pour s’endormir le soir. Remplace avantageusement les moutons.

deux virgule sept un huit deux huit un huit deux huit quatre cinq neuf zéro quatre cinq deux trois cinq trois six zéro deux huit sept quatre sept un trois cinq deux six six deux quatre neuf sept sept cinq sept deux quatre sept zéro neuf trois six neuf neuf neuf cinq neuf cinq sept quatre neuf six six neuf six sept six deux sept sept deux quatre zéro sept six six trois zéro trois cinq trois cinq quatre sept cinq neuf quatre cinq sept un trois huit deux un sept huit cinq deux cinq un six six quatre deux sept quatre deux sept quatre six six trois neuf un neuf trois deux zéro zéro trois zéro cinq neuf neuf deux un huit un sept quatre un trois cinq neuf six six deux neuf zéro quatre trois cinq sept deux neuf zéro zéro trois trois quatre deux neuf cinq deux six zéro cinq neuf cinq six trois zéro sept trois huit un trois deux trois deux huit six deux sept neuf quatre trois quatre neuf zéro sept six trois deux trois trois huit deux neuf huit huit zéro sept cinq trois un neuf cinq deux cinq un zéro un neuf zéro un un cinq sept trois huit trois quatre un huit sept neuf trois zéro sept zéro deux un cinq quatre zéro huit neuf un quatre neuf neuf trois quatre huit huit quatre un six sept cinq zéro neuf deux quatre quatre sept six un quatre six zéro six six huit zéro huit deux deux six quatre huit zéro zéro un six huit quatre sept sept quatre un un huit cinq trois sept quatre deux trois quatre cinq quatre quatre deux quatre trois sept un zéro sept cinq trois neuf zéro sept sept sept quatre quatre neuf neuf deux zéro six neuf cinq cinq un sept zéro deux sept six un huit trois huit six zéro six deux six un trois trois un trois huit quatre cinq huit trois zéro zéro zéro sept cinq deux zéro quatre quatre neuf trois trois huit deux six cinq six zéro deux neuf sept six zéro six sept trois sept un un trois deux zéro zéro sept zéro neuf trois deux huit sept zéro neuf un deux sept quatre quatre trois sept quatre sept zéro quatre sept deux trois zéro six neuf six neuf sept sept deux zéro 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trois deux quatre quatre neuf six huit quatre huit sept cinq six zéro deux trois trois six deux quatre huit deux sept zéro quatre un neuf sept huit six deux trois deux zéro neuf zéro zéro deux un six zéro neuf neuf zéro deux trois cinq trois zéro quatre trois six neuf neuf quatre un huit quatre neuf un quatre six trois un quatre zéro neuf trois quatre trois un sept trois huit un quatre trois six quatre zéro cinq quatre six deux cinq trois un cinq deux zéro neuf six un huit trois six neuf zéro huit huit huit sept zéro sept zéro un six sept six huit trois neuf six quatre deux quatre trois sept huit un quatre zéro cinq neuf deux sept un quatre cinq six trois cinq quatre neuf zéro six un trois zéro trois un zéro sept deux zéro huit cinq un zéro trois huit trois sept cinq zéro cinq un zéro un un cinq sept quatre sept sept zéro quatre un sept un huit neuf huit six un zéro six huit sept trois neuf six neuf six cinq cinq deux un deux six sept un cinq quatre six huit huit neuf cinq sept zéro 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zéro zéro zéro un cinq un deux un un quatre trois quatre quatre deux deux cinq six zéro deux trois huit sept quatre quatre sept quatre trois deux cinq deux cinq zéro sept six neuf trois huit sept zéro sept sept sept sept cinq un neuf trois deux neuf neuf neuf quatre deux un trois sept deux sept sept deux un un deux cinq huit huit quatre trois six zéro huit sept un cinq huit trois quatre huit trois cinq six deux six neuf six un six six un neuf huit zéro cinq sept deux cinq deux six six un deux deux zéro six sept neuf sept cinq quatre zéro six deux un zéro six deux zéro huit zéro six quatre neuf huit huit deux neuf un huit quatre cinq quatre trois neuf cinq trois zéro un cinq deux neuf neuf huit deux zéro neuf deux cinq zéro trois zéro zéro cinq quatre neuf huit deux cinq sept zéro quatre trois trois neuf zéro cinq cinq trois cinq sept zéro un six huit six cinq trois un deux zéro cinq deux six quatre neuf cinq six un quatre huit cinq sept deux quatre neuf deux cinq sept trois huit six deux zéro six neuf un sept quatre zéro trois six neuf cinq deux un trois cinq trois trois sept trois deux cinq trois un six six six trois quatre cinq quatre six six cinq huit huit cinq neuf sept deux huit six six cinq neuf quatre cinq un un trois six quatre quatre un trois sept zéro trois trois un trois neuf trois six sept deux un un huit cinq six neuf cinq cinq trois neuf cinq deux un zéro huit quatre cinq huit quatre zéro sept deux quatre quatre trois deux trois huit trois cinq cinq huit six zéro six trois un zéro six huit zéro six neuf six quatre neuf deux quatre huit cinq un deux trois deux six trois deux six neuf neuf cinq un quatre six zéro trois cinq neuf six zéro trois sept deux neuf sept deux cinq trois un neuf huit trois six huit quatre deux trois trois six trois neuf zéro quatre six trois deux un trois six sept un zéro un un six un neuf deux huit deux un sept un un un cinq zéro deux huit deux huit zéro un six zéro quatre quatre huit huit zéro cinq huit huit zéro deux trois huit deux zéro trois un neuf huit un quatre neuf trois zéro neuf six trois six neuf cinq neuf six sept trois cinq huit trois deux sept quatre deux zéro deux quatre neuf huit huit deux quatre cinq six huit quatre neuf quatre un deux sept trois huit six zéro cinq six six quatre neuf un trois cinq deux cinq deux six sept zéro six zéro quatre six deux trois quatre quatre cinq zéro cinq quatre neuf deux deux sept cinq huit un un cinq un sept zéro neuf trois un quatre neuf deux un huit sept neuf cinq neuf deux sept un huit zéro zéro un neuf quatre zéro neuf six huit huit six six neuf huit six huit trois sept zéro trois sept trois zéro deux deux zéro zéro quatre sept cinq trois un quatre trois trois huit un huit un zéro neuf deux sept zéro huit zéro trois zéro zéro un sept deux zéro cinq neuf trois cinq cinq trois zéro cinq deux zéro sept zéro zéro sept zéro six zéro sept deux deux trois trois neuf neuf neuf quatre six trois neuf neuf zéro cinq sept un trois un un cinq huit sept zéro neuf neuf six trois cinq sept sept sept trois cinq neuf zéro deux sept un neuf six deux huit cinq zéro six un un quatre six cinq un quatre huit trois sept cinq deux six deux zéro neuf cinq six cinq trois quatre six sept un trois deux neuf zéro zéro deux cinq neuf neuf quatre trois neuf sept six six trois un un quatre cinq quatre cinq neuf zéro deux six huit cinq huit neuf huit neuf sept neuf un un cinq huit trois sept zéro neuf trois quatre un neuf trois sept zéro quatre quatre un un cinq cinq un deux un neuf deux zéro un un sept un six quatre huit huit zéro cinq six six neuf quatre cinq neuf trois huit un trois un un huit trois huit quatre trois sept six cinq six deux zéro six deux sept huit quatre six trois un zéro quatre neuf zéro trois quatre six deux neuf trois neuf cinq zéro zéro deux neuf quatre cinq huit trois quatre un un six quatre huit deux quatre un un quatre neuf six neuf sept cinq huit trois deux six zéro un un huit zéro zéro sept trois un six neuf neuf quatre trois sept trois neuf trois cinq zéro six neuf six six deux neuf cinq sept un deux quatre un zéro deux sept trois deux trois neuf un trois huit sept quatre un sept cinq quatre neuf deux trois zéro sept un huit six deux quatre cinq quatre cinq quatre trois deux deux deux zéro trois neuf cinq cinq deux sept trois cinq deux neuf cinq deux quatre zéro deux quatre cinq neuf zéro trois huit zéro cinq sept quatre quatre cinq zéro deux huit neuf deux deux quatre six huit huit six deux huit cinq trois trois six cinq quatre deux deux un trois huit un cinq sept deux deux un trois un un six trois deux huit huit un un deux zéro cinq deux un quatre six quatre huit neuf huit zéro cinq un huit zéro zéro neuf deux zéro deux quatre sept un neuf trois neuf un sept un zéro cinq cinq cinq trois neuf zéro un un trois neuf quatre trois trois un six six huit un cinq un cinq huit deux huit huit quatre trois six huit sept six zéro six neuf six un un zéro deux cinq zéro cinq un sept un zéro zéro sept trois neuf deux sept six deux trois huit cinq cinq cinq trois trois huit six deux sept deux cinq cinq trois cinq trois huit huit trois zéro neuf six zéro six sept un six quatre quatre six six deux trois sept zéro neuf deux deux six quatre six huit zéro neuf six sept un deux cinq quatre zéro six un huit six neuf cinq zéro deux un quatre trois un sept six deux un un six six huit un quatre zéro zéro neuf sept cinq neuf cinq deux huit un quatre neuf trois neuf zéro sept deux deux deux six zéro un un un deux six huit un un cinq trois un zéro huit trois huit sept trois un sept six un sept trois deux trois deux trois cinq deux six trois six zéro cinq huit trois huit un sept trois un cinq un zéro trois quatre cinq neuf cinq sept trois six cinq trois huit deux deux trois cinq trois quatre neuf neuf deux neuf trois cinq huit deux deux huit trois six huit cinq un zéro zéro sept huit un zéro huit huit quatre six trois quatre trois quatre neuf neuf huit trois cinq un huit quatre zéro quatre quatre cinq un sept zéro quatre deux sept zéro un huit neuf trois huit un neuf neuf quatre deux quatre trois quatre un zéro zéro neuf zéro cinq sept cinq trois sept six deux cinq sept sept six sept cinq sept un un un huit zéro neuf zéro zéro huit huit un six quatre un huit trois trois un neuf deux zéro un neuf six deux six deux trois quatre un six deux huit huit un six six cinq deux un trois sept quatre sept un sept trois deux cinq quatre sept sept sept deux sept sept huit trois quatre huit huit sept sept quatre trois six six cinq un huit huit deux huit sept cinq deux un cinq six six huit cinq sept un neuf cinq zéro six trois sept un neuf trois six cinq six cinq trois neuf zéro trois huit neuf quatre quatre neuf trois six six quatre deux un sept six quatre zéro zéro trois un deux un cinq deux sept huit sept zéro deux deux deux trois six six quatre six trois six trois cinq sept cinq cinq cinq zéro trois cinq six cinq cinq sept six neuf quatre huit huit huit six cinq quatre neuf cinq zéro zéro deux sept zéro huit cinq trois neuf deux trois six un sept un zéro cinq cinq zéro deux un trois un un quatre sept quatre un trois sept quatre quatre un zéro six un trois quatre quatre quatre cinq cinq quatre quatre un neuf deux un zéro un trois trois six un sept deux neuf neuf six deux huit cinq six neuf quatre huit neuf neuf un neuf trois trois six neuf un huit quatre sept deux neuf quatre sept huit cinq huit zéro sept deux neuf un cinq six zéro huit huit cinq un zéro trois neuf six sept huit un neuf cinq neuf quatre deux neuf huit trois trois un huit six quatre huit zéro sept cinq six zéro huit trois six sept neuf cinq cinq un quatre neuf six six trois six quatre quatre huit neuf six cinq cinq neuf deux neuf quatre huit un huit sept huit cinq un sept huit quatre zéro trois huit sept sept trois trois deux six deux quatre sept zéro cinq un neuf quatre cinq zéro cinq zéro quatre un neuf huit quatre sept sept quatre deux zéro un quatre un huit trois neuf quatre sept sept trois un deux zéro deux huit un cinq huit huit six huit quatre cinq sept zéro sept deux neuf zéro cinq quatre quatre zéro cinq sept cinq un zéro six zéro un deux huit cinq deux cinq huit zéro cinq six cinq neuf quatre sept zéro trois zéro quatre six huit et ça continue !