Méthode de bissection et méthode de Newton

La méthode de bissection permet d'estimer avec une certaine précision les zéros réels d'une fonction. Pour l'utiliser, on doit d'abord trouver deux quantités ayant des images de signes contraires en s'assurant que la fonction soit continue sur l'intervalle choisi puis, on doit fixer le degré de précision de l'estimation. La méthode de bissection converge toujours pour autant que les images des deux quantités choisies soient de signes contraires et que la fonction soit continue sur l'intervalle correspondant.

La méthode de Newton permet d'estimer avec une certaine précision les zéros réels ou imaginaires d'une fonction. Cette méthode converge généralement très rapidement (pas toujours) à la condition que l'on choisisse une valeur suffisamment près d'un zéro de la fonction et que toutes les dérivées des valeurs générées par la méthode (incluant xo) existent et ne s'annulent pas. On doit, comme pour la méthode de bissection, fixer le degré de précision de l'estimation. La méthode de Newton peut produire un très grand nombre d'itérations. Dans certains cas cette méthode flanche carrément, le nombre d'itérations augmente à l'infini d'où l'importance de se fixer un nombre maximal d'itérations pour éviter un bouclage inifini.

Voici quelques problèmes que vous permettront d'expérimenter les deux méthodes à l'aide de l'application «Maplet» ( maplet , mws ) sur l'étude des zéros d'une fonction. Pour pouvoir utiliser cette application, il vous faut la version 9 ou une version plus récente du logiciel Maple avec l'interface standard.

  1. Trouvez tous les zéros de f(x) = x3 - x2 + 2x - 5 avec une erreur E < 0,1 en utilisant la méthode de bissection. Recommencez en utilisant la méthode de Newton avec xo = -2 et E < 0,1. Utilisez le bouton visualiser pour suivre graphiquement les étapes du calcul dans chacun des cas.

  2. Soit la fonction f(x) = x - cos(x). Estimez à l'aide de la méthode de Newton la valeur du zéro de cette fonction en prenant xo = -1 et E < 0,1. Utilisez le bouton visualiser pour suivre graphiquement chacune des étapes .

  3. Soit la fonction f(x) = x3 - x - 3. Estimez à l'aide de la méthode de Newton la valeur du zéro de cette fonction en prenant xo = 0 et E < 0,1. Que remarquez-vous? Fixez le nombre maximal n d'itérations à 1000, que remarquez-vous? Que pouvons-nous raisonnablement conclure?

  4. Soit la fonction f(x) = sin x, xo = 5/4 et E < 0,1. Si on applique la méthode de Newton, le zéro obtenu n'est pas celui que l'on aurait prévu. Utilisez le bouton visualiser pour connaître la raison de cet écart.

  5. La fonction f(x) = (cos x) e-x possède 6 zéros sur [0, 20]. Estimez leurs valeurs avec une erreur E < 0,0001 en utilisant la méthode de votre choix.
    (Pour entrer e-x, il faut taper exp(-x) )

  6. Soit f(x) = (x3 - x - 1) e-x et xo = -1, xo = -2, xo = 3. Déterminez le nombre d'itérations nécessaires pour obtenir une estimation du zéro de la fonction avec une erreur E < 0,1 si on utilise la méthode de Newton.

  7. En utilisant la méthode de bissection, trouvez la valeur de la racine carrée de 7 avec une précision d'au moins 8 décimales exactes.

  8. En utilisant la méthode de Newton, trouvez une estimation des coordonnées du point de rencontre des courbes de y = x et y = sin(x - 1) avec une précision d'au moins 5 décimales exactes.

  9. Les courbes de y = x3 et de y = 1,9x + 1 se rencontrent combien de fois? Estimez avec une précision d'au moins 8 décimales exactes l'abscisse de chacun des points de rencontre.

  10. Soit la fonction f(x) = x5 - x4 + 3x2 - 4x - 1. En utilisant la méthode de Newton, trouvez les nombres critiques et les nombres de transition de la fonction avec une précision d'au moins 3 décimales exactes.

  11. Soit la fonction f(x) = | e-cos x |. Utilisez le bouton visualiser de la méthode de Newton pour suivre le chemin particulièrement cahoteux parcouru par cette méthode en prenant comme fonction la dérivée seconde de f(x), xo = 5 et E < 0.1.
    ( Pour entrer e-x, il faut taper abs(exp(-cos(x))) )

  12. Appliquez la méthode de Newton à la fonction   en prenant xo = -1, une valeur qui ne fait pas partie du domaine de la fonction et E < 0.1. Comment pouvez-vous expliquer les résultats obtenus?
    (Il ne faut pas oublier que Maple travaille dans les complexes.)

  13. Trouvez les trois racines troisièmes de 5 dans les complexes avec une précision de 8 décimales exactes.
    (Trouver les trois racines troisièmes de 5 est équivalent à trouver les trois zéros de la fonction f(x) = x3 - 5 dans les complexes. Le zéro réel de la fonction est facilement localisable mais le graphique n'est d'aucune utilité pour trouver les zéros imaginaires. Les trois zéros sont dans le plan complexe à égale distance l'un de l'autre. Utilisez une valeur xo près d'un zéro imaginaire, essayez xo = i (tapez I majuscule) pour le premier zéro imaginaire.)