Un peu de théorie
Il arrive souvent qu'on ait à analyser des comportements à partir de mesures ou de relevés pris à intervalles réguliers. Il est généralement possible de traduire ces comportements à l'aide de modèles mathématiques. On utilise habituellement les suites pour ce genre d'analyse.
Une suite de nombres réels a1, a2, a3, a4, ... ,an , ... est une fonction qui associe à chaque nombre entier positif n un nombre réel an.
Par exemple 3, 6, 12, 24, 48, ... est une suite où a1 = 3, a2 = 6, a3 = 12, a4 = 24, ...
La fonction qui permet d'obtenir chacun des termes de la suite est appelée le terme général de la suite.
On peut vérifier que le terme général de la suite précédente est an = 3(2)n-1 pour n = 1, 2, 3, ...
Une autre façon de définir une suite consiste à indiquer son premier terme ainsi qu'une formule permettant de calculer tout autre terme (sauf le premier) à partir d'un ou plusieurs termes précédents. Une formule de ce type s'appelle une formule de récurrence.
La suite précédente 3, 6, 12, 24, 48, ... peut être décrite à l'aide de l'équation de récurrence an+1 = 2an et de la condition initiale a1 = 3. En effet si a1 = 3 alors a2 = 2a1 = 2(3) = 6, a3 = 2a2 = 2(6) = 12, etc.
La solution d'un système constitué d'une équation de récurrence et d'une condition initiale correspond au terme général de la suite qui lui est associée.
La solution du système précédent est par conséquent an = 3(2)n-1 pour n = 1, 2, 3, 4 ...
Les suites sont souvent utilisées pour décrire la croissance de phénomènes courants. Dans ce genre d'étude, il est quelquefois aisé de décrire le comportement du phénomène à l'aide d'un système de récurrence. Trouver la solution générale est un problème plus compliqué. Lorsque l'équation possède certaines caractéristiques, on obtiendra rapidement sa solution en utilisant le résultat suivant.
Consultez le document Modèles de croissance (256 ko) à la page 22 pour la démonstration du résultat.
