Voici quelques problèmes qui vous permettront d'expérimenter l'application sur l'étude de certains phénomènes de croissance (populations, capitaux, ...). Pour pouvoir utiliser cette application, il vous faut la version 9.5 du logiciel Maple ( maplet , mws ) ou encore la version 11 ( zip ) de ce logiciel. Ce document d'extension «zip» est compressé, il devra être décompressé avant de l'utiliser.
Exemple 1 Un montant de 1000$ est placé pour 10 ans à un taux d'intérêt composé de 6% par année. Dans combien d'années la valeur du capital sera-t-elle de1500$? |
Soit an la valeur du capital après n années. Le phénomène de croissance est soumis au système suivant.
an+1 = an + 0,06an
a0 = 1000
c'est-à-dire
-
an+1 = 1,06an
a0 = 1000
Ce dernier système est équivalent au système général
-
an+1 = A (an) + B
a0 = C
avec A = 1,06, B = 0 et C = 1000.
On cherche ici à trouver la valeur de n telle que an = 1500.
Pour obtenir rapidement la réponse de ce problème, utilisez l'application Maplet sur la croissance.
- Cliquez sur «Effacer toutes les cases» en utilisant le bouton droit de la souris lorsque le curseur pointe sur une des cases d'entrée des donnés.
- Donnez les valeurs de an = 1500, A = 1.06, B = 0 et C = 1000.
- Cliquez ensuite le bouton « n ».
On obtient comme réponse n = 6.958515633 (dans 7 ans).
Pour suivre l'évolution d'un capital de 1000$ sur une période de 20 ans à un taux d'intérêt de 6%, entrez les valeurs A = 1.06, B = 0,
C = 1000, choisissez graphique de an en fonction de n variant de 0 à 20, cliquez ensuite sur TRACER.
Exemple 2 À chaque année, la province de Québec perd 4% de ses médecins (retraite, décès, émigration, ...) et elle forme 900 nouveaux médecins dans ses universités. Si aujourd'hui on compte 16000 médecins actifs au Québec, combien y en aura-t-il dans 10 ans? |
Soit an le nombre de médecins après n années. Le phénomène de croissance est soumis au système suivant
an+1 = an - (4/100)an + 900
a0 = 16000
c'est-à-dire
an+1 = (96/100)an + 900
a0 = 16000
Ce dernier système est équivalent au système général
-
an+1 = A (an) + B
a0 = C
avec A = 96/100, B = 900 et C = 16000 .
On cherche ici à trouver la valeur de a10
Pour obtenir rapidement la réponse de ce problème, utilisez l'application Maplet sur la croissance.
- Cliquez sur «Effacer toutes les cases» en utilisant le bouton droit de la souris lorsque le curseur pointe sur une des cases d'entrée des donnés.
- Donnez les valeurs de A = 96/100, B = 900, C = 16000 et n = 10.
- Cliquez ensuite sur le bouton « an ».
On obtient comme réponse an = 18178.58787 (18179 médecins).
On peut suivre l'évolution du nombre de médecins sur une longue période en entrant les valeurs A = 96/100, B =900, C = 16000 puis en choisissant graphique de an en fonction de n variant de 0 à 200. Cliquez ensuite sur TRACER.
On constante que ce nombre devrait se stabiliser avec le temps à un peu plus de 22000 médecins. Pour en connaître la valeur exacte (22500), entrez les valeurs A = 96/100, B = 900, C = 16000 et n = infinity puis cliquez sur an .
Exemple 3 Une personne désire acheter une auto au prix de 12 500 $ taxe comprise. N'ayant pas l'argent nécessaire, elle se dirige vers une Caisse Populaire qui accepte de financer cet achat à un taux de 12 % capitalisé mensuellement (taux mensuel proportionnel) sur une période de 36 versements de fin de mois. Quel sera le montant des versements? |
Soit an la valeur de l'emprunt après n mois. Si B correspond au montant des versements, le phénomène de croissance est soumis au système suivant
an+1 = an + (0.12/12)an + B
a0 = 12 500
équivalent à
an+1 = an + (0.01)an + B
a0 = 12 500
c'est-à-dire
an+1 = 1.01an + B
a0 = 12 500
Ce dernier système est équivalent au système général
-
an+1 = A (an) + B
a0 = C
avec A = 1.01, B = ? et C = 12500.
On cherche ici à trouver la valeur de B telle que an = 0 lorsque n = 36.
Pour obtenir rapidement la réponse de ce problème, utilisez l'application Maplet sur la croissance.
- Cliquez sur «Effacer toutes les cases» en utilisant le bouton droit de la souris lorsque le curseur pointe sur une des cases d'entrée des donnés.
- Donnez les valeurs de an = 0, A = 1.01, C = 12500 et n = 36.
- Cliquez ensuite le bouton « B ».
On obtient comme réponse B = -415.1788724 $. Le montant
des versements sera donc de 415,18 $.
Pour suivre l'évolution du prêt sur la période de 36 mois, entrez les valeurs A = 1.01, B = -415.18, C = 12500, choisissez graphique de an en fonction de n variant de 0 à 36, cliquez ensuite sur TRACER.
