En 1979, Benoit B.
Mandelbrot s'amusa avec une Žquation de rŽcurrence toute simple
dont le dŽveloppement
est z0 , z02 + C , (z02
+ C)2 + C , ...
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 1924-2010
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NŽ
en Pologne en 1924, le mathŽmaticien Benoit B. Mandelbrot Žmigre en
France en 1936. Il travaille en 1958 pour IBM au centre de recherche
Thomas B. Watson ˆ New York et enseigne ensuite en Sciences
MathŽmatiques ˆ l'UniversitŽ Yale. Il est dŽcŽdŽ le 14 octobre 2010 ˆ
Cambridge (Massachusetts) des suites d'un cancer du pancrŽas.Il avait
85 ans.
Site web de Benoit B.
Mandelbrot
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La
valeur de C Žtant une constante de l'ensemble des nombres complexes
qu'il associa ˆ un point de l'Žcran de son ordinateur. Pour chaque
nombre complexe C associŽ ˆ un pixel de son Žcran, il obtint une suite
de nombres complexes. Il calcula le module de chacun des termes de la
suite
| z0 | , | z1 | , | z2 |
, | z3 | , | z4 | , ...
Lorsque
la suite des modules ne tendait pas vers l'infini, le point C Žtait
considŽrŽ comme appartenant ˆ l'espace recherchŽ et Žtait noirci.
L'ensemble de Mandelbrot venait de na”tre.
Pour
reproduire l'ensemble de Mandelbrot, on associe ˆ C des valeurs du plan
complexe. On considre gŽnŽralement la portion du plan complexe ayant
comme partie rŽelle, les valeurs entre -2.5 et 1.5 et comme partie
imaginaire, les valeurs entre -1.5 et 1.5. Cette portion du plan
complexe est subdivisŽe de faon ˆ former une grille dont les ŽlŽments
seront associŽs ˆ des valeurs de C. Pour chaque valeur de C, on obtient
une suite de modules. En pratique, on considre que la suite des
modules ne tendra pas vers l'infini si les 30 premiers modules sont
infŽrieurs ˆ 2, on colorie alors en noir le point de la grille. Aprs
avoir considŽrŽ tous les points de la grille, on obtient un ensemble de
points noircis : l'ensemble de Mandelbrot.
On
peut colorer les points ˆ l'extŽrieur de l'ensemble de Mandelbrot en
utilisant des couleurs qui dŽpendent du nombre de termes calculŽs avant
d'obtenir un module supŽrieur ou Žgal ˆ 2. Les points d'une mme
couleur peuvent tre interprŽtŽs comme Žtant des points s'Žloignant ˆ
la mme vitesse de l'ensemble de Mandelbrot.
Exemple
Donnons ˆ C la valeur
-0.1 + i correspondant au point (-0.1, 1) de notre grille.
zn+1 = zn2 + (-0.1 + i)
z0 = 0
Pour cette valeur de C,
on obtient une suite de nombres complexes.
| z0 = 0 + 0 i |
| z0 | = 0 |
| z1 = -0.1 + i |
| z1 | = 1.005 |
| z2 = -1.09 +
0.8 i |
| z2 | = 1.352 |
| z3 = 0.448 -
0.744 i |
| z3 | = 0.869 |
| z4 = -0.453 +
0.333 i |
| z4 | = 0.562 |
| z5 = -0.006 +
0.698 i |
| z5 | = 0.698 |
| z6 = -0.586 +
0.992 i |
| z6 | = 1.153 |
| z7 = -0.738-
0.165 i |
| z7 | = 0.756 |
| z8 = 0.417 +
1.244 i |
| z8 | = 1.312 |
| z9 = -1.473 +
2.038 i |
| z9 | = 2.514 |
Puisque | z9
| est supŽrieur ˆ 2, on considre que la suite des modules ira vers
l'infini. Ce point n'appartient pas ˆ l'ensemble de Mandelbrot. On
assignera donc la couleur # 9 au point (-0.1, 1) de la grille. Tous les
points d'une mme couleur requirent le calcul d'un mme nombre de
termes avant de constater qu'ils ne font pas partie de l'ensemble de
Mandelbrot.
GŽomŽtrie fractale
L'ensemble
de Mandelbrot prŽsente une propriŽtŽ intŽressante d'autosimilaritŽ. Sa
structure se reproduit d'une faon identique ˆ toutes les Žchelles
d'observation. Les formes qui prŽsentent cette propriŽtŽ
d'autosimilaritŽ s'appellent des fractales. Les fractales ont la
particularitŽ que n'importe quelle rŽgion lorsqu'elle est agrandie se
rŽvle tout aussi finement structurŽe que la figure plus grande dont
elle est extraite. Autrement dit, il y a une rŽgression infinie de
dŽtails, un embo”tement infini de structures.
En
agrandissant une rŽgion quelconque de l'ensemble de Mandelbrot, on
remarque la prŽsence de points noirs qui se rŽvlent tre des copies
conformes de l'ensemble de dŽpart.
1. L'ensemble
de Mandelbrot
2. Zoom dans
la partie supŽrieure de la figure 1
3. Zoom dans la partie
supŽrieure de la figure 2
4. Zoom dans la branche de
gauche de la figure 3
Suggestions de
quelques outils d'exploration
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Il
existe sur le Web une multitude de logiciels qui portent sur l'ensemble
de Mandelbrot et que l'on peut tŽlŽcharger. Ces logiciels permettent de
faire l'Žtude de cette structure ˆ diffŽrents niveaux d'observation. Je
vous suggre "Ultra Fractal " pour
ceux qui travaillent sur un PC.
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On
peut aussi faire une incursion dans l'ensemble de Mandelbrot en
utilisant Maple. Il suffit de copier le programme (en rouge) sur une
feuille de travail du logiciel et d'indiquer ˆ la place de
(-2)..(1),(-1.5)..(1.5) de la dernire ligne,
l'Žtendue des parties rŽelles et imaginaires de C que l'on dŽsire
visualiser. Faites attention aux
dŽcimales si vous utilisez Maple 7 car il gre trs mal
les Žtendues contenant des dŽcimales dans la macro-commande plot3d.
ƒcrivez -15/10..15/10 plut™t que -1.5..1.5.
couleur:=proc(a,b)
local x,y,xi,yi,n;
x:=a;
y:=b;
for n from 0 to 30 while evalf(x^2+y^2) < 4 do;
xi:=evalf(x^2-y^2+a);
yi:=evalf(2*x*y+b);
x:=xi;
y:=yi;
od;
n;
end:
plot3d(0,(-2)..(1),(-15/10)..(15/10),orientation=[-90,0],style=patchnogrid,
scaling=constrained,axes=framed,numpoints=20000,color=couleur);
Lorsque
la partie rŽelle du point C est entre -2 et 1 et la partie imaginaire
entre -1.5 et 1.5, on obtient ˆ partir du programme prŽcŽdent,
une reprŽsentation colorŽe de l'ensemble de Mandelbrot.
Voici
des images qui ont ŽtŽ crŽŽes par ce programme. L'ordinateur utilisŽ
doit tre rapide et doit disposer de beaucoup de mŽmoire. Chaque image
nŽcessite le calcul d'environ 300 000 termes. Pour augmenter la vitesse
d'exŽcution de l'ordinateur, il faudra diminuer la valeur du paramtre
numpoints=20000. L'image sera Žvidemment moins prŽcise. Pour augmenter
les dŽtails, on devra changer la valeur 30 de la boucle n from 0 to 30
pour une valeur supŽrieure.
Merci ˆ Nicolas Rochette
du CŽgep Beauce-Appalaches pour cette
variation originale de l'ensemble de Mandelbrot.
En changeant la dernire commande du programme prŽcŽdent pour celle-ci,
plot3d(couleur,
(-2)..(1), (-15/10)..(15/10), orientation=[-70,45], style=patchnogrid,
axes=framed, lightmodel='light1', numpoints=40000, color=couleur);
on obtient
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